Функциональный анализ
Решение: Возьмем ограниченное множество. Определим в E £ F — ЛП зад. Книга посвящена применениям функционально-аналитических методов к задачам вычислительной математики, в том числе к анализу погрешностей различных приблеженных методов.
Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов факторов Дж. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Согласно методу Лагранжа, решение задачи Коши ищем в виде:. Книга состоит из трех разделов.
Функциональный анализ - Большая часть изложенного материала до сих пор публиковалась лишь в виде журнальных статей и служебных отчетов.
При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература. Некоторые задачи и упражнения являются новыми. В разработке приняты следующие сокращения: МП — метрическое пространство, ЛП — линейное пространство, ЛМ — линейное многообразие, ЛНП — линейное нормированное пространство, БП — банахово пространство, ПСП — пространство со скалярным произведением, ГП — гильбертово пространство, ММН — множество меры нуль, ЛОО — линейный ограниченный оператор, ЛОФ — линейный ограниченный функционал. Элементы теории функций и функционального анализа. Краткий курс функционального анализа. Интеграл, мера и производная. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Методы решения задач по функциональному анализу. Сборник задач по математическому анализу. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Метрические пространства определения 1. Пусть ½ x; y — метрика в X. Пусть функция ' t определена и дважды непрерывно дифференцируема при t ¸ 0. Пусть X — МП с метрикой ½ x; y. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим подмножеством шара радиуса 3? Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содержится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают. Пусть множество M ½ X — МП ограничено. Пусть множества A и B ограничены в X — МП. Сходимость в метрических пространствах 2. Показать, что если в метрическом пространстве при n! z f z g n n 2 Привести пример последовательности x n , которая принадлежала бы m и l 2, сходилась в m и не сходилась в l 2. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в метрическом пространстве ограничена. Пусть fx n g — фундаментальная последовательность в метрическом пространстве такая, что некоторая ее подпоследовательность fx n k g сходится при k! Доказать, что x n! Пусть последовательность fx n g в метрическом пространстве такая, P что ряд 1 ½ x k; x k +1 сходится. Пусть fx n g, fy n g — фундаментальные последовательности в метрическом пространстве. Доказать, что при n! Доказать, что всякое метрическое пространство с конечным числом элементов является полным. Доказать полноту пространства s. Доказать полноту пространства m. Пусть X и Y — метрические пространства с метриками ½ X и ½ Y соответственно. Замкнутые и открытые множества 3. Привести пример строгого включения. Показать, что замыкание открытого шара в метрическом пространстве содержится в соответствующем замкнутом шаре, но может с ним не совпадать. Доказать замкнутость в метрическом пространстве любого конечного множества. Пусть f x — непрерывная на R 1 функция. Доказать, что для любого a 2 R 1 в R 1 замкнуто множество fx 2 R 1 j f x · ag. Построить счетную последовательность замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым. Привести пример строгого включения. Показать, что в дискретном метрическом пространстве каждое множество открыто. Пусть f x — непрерывная на R 1 функция. Построить счетную последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. Пусть X — МП, B — замкнутое подмножество X, а A — произвольное подмножество. Нет ли здесь противоречия с теоремой о вложенных шарах? Доказать, что объединение двух совершенных множеств является совершенным множеством, а пересечение двух совершенных множеств может не быть совершенным. Пусть множество A в метрическом пространстве X нигде не плотно. Верно ли, что дополнение к всюду плотному множеству является нигде не плотным? Пусть множество A в метрическом пространстве нигде не плотно. Доказать, что замыкание A также нигде не плотно. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству является нигде не плотным. Доказать, что множество всех иррациональных чисел является в R 1 множеством второй категории. Доказать, что в полном метрическом пространстве дополнение к множеству первой категории есть множество второй категории. Какой категории на R 2 2 является множество E всех точек, обе координаты которых иррациональные числа? Непрерывные отображения метрических пространств 4. Доказать, что в задаче 4. Доказать, что в задаче 4. Пусть X, Y — МП-ваи функция f : X! Доказать, что любое непрерывное отображение числового отрезка в себя имеет неподвижную точку. Показать, что функция f x является сжимающей, но неподвижных точек не имеет. Пусть X — МП полное. X и является сжимающим с константой сжатия q. Доказать, что всякое подмножество относительно компактного множества является относительно компактным. Доказать компактность всякого конечного множества в метрическом пространстве. Доказать, что замыкание относительно компактного множества является компактным. Доказать, что всякое компактное метрическое пространство является полным. Доказать, что объединение конечного числа компактных множеств есть множество компактное. Доказать, что в метрическом пространстве любая последовательность непустых компактных множеств A 1 ¾ A 2 ¾ ::: ¾ A n ::: имеет непустое пересечение. Привести пример замкнутого ограниченного множества в пространстве l 2, не являющегося компактным. Пусть A — относительно компактное множество в X — МП. Пусть A, B — относительно компактные множества в метрическом пространстве. Пусть множество A вполне ограничено в метрическом пространстве. Пусть A и B — ограниченные множества в метрическом пространстве. Пусть A — подмножество линейного пространства. Пусть E; F — ЛП-ва. Показать, что тогда E £ F — ЛП. Доказать, что пересечение любой системы выпуклых множеств есть выпуклое множество. Пусть A и B — выпуклые множества. Доказать, что для любых чисел ¸ и ¹ множество ¸A + ¹B выпукло. Пусть A — выпуклое множество и f x n A. Линейные нормированные пространства 7. Показать, что для любой пары элементов x и y из линейного нормированного пространства выполняется неравенство kxk · maxfkx + yk; kx ¡ ykg. Показать, что множество M ½ E — ЛНП ограничено тогда и только тогда, когда 9C ¸ 0 8x 2 M kxk · C. Пусть E; F — ЛНП-ва. Определим в E £ F — ЛП зад. Показать, что тогда: a E £ F — ЛНП; б если E; F — БП-ва,то и E £ F — БП.
В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в , математической физике, теоретической физике в том числе, , , и , , , и других областях. Для научных работников, студентов вузов, аспирантов. В начале каждой главы приведены основные определения и теоремы. Функции со значениями в банаховых пространствах 9. Для корректности поставленной задачи, будем считать, что функционал Действует из подпространства , где. Сепарабельные метрические пространства 1.